作者：齐民友（数学家、武汉大学原校长）

我有幸接触到《普林斯顿数学指南》这本书，并于2010年开始翻译。这四年的经历可以说就像再次进入数学系一样。然而，与第一次进入数学系相比，真正的区别并不在于我的数学准备比以前更高，所学的科目也比以前更深入。但我必须一字不差地仔细阅读这本“教科书”。

当我上次进入数学系时，我所学习的课程内容与那个时代（20世纪50年代）相距很少少于100年。不过，我这次学习的内容主要是过去十年、二十年的内容。事情。较长的时间间隔有一个好处：后代能够更好地整理和消化这些内容，能够更真实地理解很多问题。而如果你想学习上次进入数学系时当时正在发展的数学，如果你没有做好充分的准备，没有读过一些非常难的专着和论文，你往往会感觉自己迷失在云端。

不过，这次“再次进入数学系”的感觉却有所不同。一方面，我现在发现自己并没有真正理解那些我自以为已经理解的内容，甚至后来多次教给学生。用以前用过的“真实”这个词更合适：我当年学到的东西比较肤浅，比较字面，但是至于当时人们遇到了什么问题，他们的重点是什么，某位数学家的贡献是什么？甚至连他为什么说某位数学家伟大，我都一头雾水，所以说他听懂了并不是“真实”的，但这次我有更深的感触。

另一方面，我必须学习一些我以前从未读过甚至从未听说过的课程。就这本书的核心——第四部分：数学各分支——而言，我只能说有些章节是“可识别的”“里面的字”，对其内容一言难尽。但对于大多数章节来说，感觉就像读一本专着，甚至是一本该分支的名著，让你有一个鸟瞰的视角：它们并不是像我们习惯的那样从最基本的定义和最基本的命题开始，而是从数学的发展开始，从某个时代遇到的某个问题开始（这本书有很大一部分是历史和数学家传记，对于理解各个分支的本质很有帮助），讲述了当时的数学家是如何处理的与这些问题。问题是，他们的思想与前人相比有何创新，与后人相比又有何局限性。这些文章还讨论了为什么该分支以这些任务为中心以及它与其他任务的关系。

这些文章一般以“对话”的形式呈现给读者，让你感觉作者滔滔不绝，吸引着观众。这可能是这本书有吸引力而不乏味的原因之一。然而，读者对一本书的要求、对它的看法以及阅读方式都有不同。如果只是为了拓展视野，这也是一种阅读方式；如果只是为了了解同行在谈论什么，甚至自己提出相关问题，那也是另一种阅读方式。更重要的是，如果读者认为某个分支引起了他的兴趣，从而产生了更多了解它的欲望，而这正是原书的编辑所希望达到的目的，那么他需要在书中添加更多的信息（或某一章）。对提到的某个问题还有进一步的了解。

原书的编辑多次提到这本书和一些大型数学网站的《普林斯顿数学指南》有所不同，但我认为为了进一步理解这个问题，结合相关内容阅读《普林斯顿数学指南》是一个有效的方法。来自一些大型数学网站的条目。尤其是维基百科，在翻译过程中给了我很多帮助。它不仅使我能够更加准确地理解本书某一章甚至某一段落的含义，而且也少犯了一些离谱的错误。我相信读者也是如此，所以译者有时会在脚注中专门介绍所使用的网站。然而，脚注中提及的某些网站仅占其实际使用频率的一小部分。

《普林斯顿数学指南》 还有一个读者可能没有想到的用途：近年来，关于数学的新发展，特别是一些新的应用，圈内外经常有一些似是而非的谣言，并且经常在大学生中传播。在大多数情况下，《普林斯顿数学指南》将提供更可靠的指令。

最需要强调的是，学习数学需要付出努力，想要真正学好东西，认真阅读一些教材和专着，尤其是经典著作是必不可少的。《普林斯顿数学指南》（还是书名《同伴》，直译为“同伴”）只能给你指明一条路，陪伴你一段时间。它不能让你毫不费力地理解数学，这并不需要通过努力学习就能有所成就（目前特指金榜题名），这不仅仅是一个似是而非的谣言，这确实是一个不负责任的谎言。《普林斯顿数学指南》的作用就是让我们把精力花在重点上，发挥更大的作用。

这段话适用于读者和译者。本书可以看作是译者“重考数学系”的试卷。如果读者愿意给您提建议，将会帮助译者更好地“这次考数学系”，所以译者在此先表示诚挚的谢意。

《普林斯顿数学指南》 还有一个小的介绍部分，由四篇文章组成。第二篇和第三篇分别讲“数学的语言和语法”和“一些基本的数学定义”。第二部分包含对逻辑的简要介绍，第三部分解释了数学各个分支（例如代数、几何、分析等）的一些基本概念。按照编者的初衷，如果你对材料太陌生，读这本书会很困难。

问题是，即使知道了这一点，你能更顺利地读完这本书吗？根据译者的经验，这很可能行不通，因为这两篇文章有点类似于术语解释，其深度与其他部分反差太大，尤其是第四部分“数学分支”，这是本书的主体。书。在译者看来，这部分可以看作是读者需求的概述。如果你对于这部分（或者比如说分析部分）有本科水平的话，看这本书（分析的各个章节）会方便很多（当然，如上所述，很多时候你需要阅读再书一点）。这样，我们不妨认为原著在这里提出的是：读者需要了解什么才能涉足现代数学，或者说，大学数学专业应该教给学生什么？如果大家不反对这个想法，那么如果我们回顾目前国内的大学数学教学，就会承认还有很长的路要走。

我们都有这样的经历：同样的事情，多说一句话甚至半句话就会清楚得多。写数学书也是如此。或许对于作者来说，文字已经足够了，但是对于译者来说，需要仔细思考这里漏掉的那句话甚至半句话。译者原本打算将这些词放在方括号中，但后来这种情况发生得越来越多，译者为了使布局更清晰，经常省略方括号，只有在词较多时才进行解释。这样看来，译本和原书还是有一些差异的。此外，原书中存在一些笔误或印刷错误，译者已予以纠正。但译者对内容进行了解释，以表明他对文本负全部责任。

最后，我再次对广大读者的启发和指出翻译错误表示衷心的感谢。

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