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“谢尔顿”猜想被证明了！

作者|张华

来源|全球科学

史上收视率最高的美剧《生活大爆炸》连续播出12年后终于迎来大结局。在这个感伤的告别季节，《美国数学月刊》发表了一篇有趣的论文，标题为《谢尔顿猜想的证明》。

《生活大爆炸》，理论物理学家谢尔顿对素数73情有独钟，谢尔顿认为这个素数是最美丽的（最好的）。他穿的衣服上印着数字73。

73究竟有何特别之处，让挑剔古怪的谢尔顿如此着迷？

谢尔顿穿着印有“73”的上衣

为什么是73？

我们知道，这个世界上复杂的事物可以通过排序变得简单明了。比如学生在学校有学号，员工在公司有员工号，在快餐店等餐的人也有排队号。对于素数也是如此。两千多年前，欧几里得证明了素数有无穷多个。我们可以引入一组“索引数”来将素数从小到大排列。例如，连续的素数2,3,5,7.被索引为索引号1,2,3,4.

按序列顺序，73 是第21 个质数。

按照数学家的标准写法，可以写成P(21)=73。

这样写法，P(n)是一个数论函数（所谓数论函数是指这个函数的自变量是一个正整数），P代表一个素数，n的取值范围涵盖所有连续的正整数。

按照这种写法，我们可以发现第12个质数是37。也就是说，P(12)=37。

在《生活大爆炸》中，Sheldon注意到一个非常有趣的事实，那就是对于两个素数73和37，它们恰好有有趣的对称性：P(21)=73，如果我们把素数73倒过来写为37，序数21倒写为12。此时P(12)=37也成立。

谢尔顿喜欢素数73，一个重要的原因是它背后的镜像对称性。

73和37的区别：积极性

看到这里，你可能会问：从镜像对称来看，73和37的地位是平等的，没有谁高谁低。既然如此，为什么谢尔顿认为73在科学上比37更美丽呢？

剧中谢尔顿没有给出进一步的解释，但现实世界的数学家却为谢尔顿研究了这个问题。

晨兴学院数学副教授Chris Spice 和两名数学系学生注意到，73 不仅具有镜像对称性，而且还具有另一个性质，即“乘积性质”。

积极性的定义很简单。如果素数p(n)具有“乘积性质”，则p(n)中每个阿拉伯数字的乘积正好等于n。

例如：

P(7)=17, 17=7

P(21)=73, 73=21

P(181440)=2475989,

2475989=181440

我们注意到谢尔顿最喜欢的73 是一个具有乘积性质的素数。然而，对于37来说，虽然它具有镜面对称，但它不具有乘积性质：37=21，这与序号12不一致。

这就是为什么37不如73漂亮的原因。

当然，这些数学家不会满足于此。在此基础上，他们在2015年的一篇论文中正式提出了谢尔登猜想：除了素数73同时具有镜像对称性和乘积性质之外，没有其他素数同时具备这两种性质。

满足这个条件的素数也称为谢尔顿素数。也就是说，论文作者认为73是唯一的谢尔顿素数。

证明谢尔顿的猜想

谢尔顿猜想的提法看上去有点好笑，因为这就像说《射雕英雄传》中的黄蓉已经证明了n阶幻方的存在定理（具体可以参考黄蓉与瑛姑的对话） 。

不过，不可否认的是，虽然剧中的谢尔顿声称73是“最好的”，但谢尔顿并没有说73是“独一无二的”。 （因为该剧的科普作家不知道73 是否是唯一的谢尔顿素数。）

直到今年2月，情况才终于发生变化。 Spice和达特茅斯大学数学教授Carl Pomerance发表论文《美国数学月刊》，证明了Sheldon猜想。

两位数学家想要解决的问题是73是否是唯一的谢尔顿素数（同时具有镜像对称性和乘积性质）。

由于理论上素数的个数是无限的，因此如何缩小搜索的范围就变得非常重要。

在论文中，作者声称只有上面提到的三个素数具有乘积性质。但要证明这一点，需要一些数论知识。最重要的就是素数定理，因为有了素数定理，我们知道我们可以知道第n个素数约等于什么。

根据素数定理，根据积分性的定义，可以得出一个重要的结论：如果一个素数很大，那么它肯定不具有积分性。从严格的数学推导可以推算，当一个素数的位数超过46位时，该素数肯定不可能具有乘积性质。

因此，以10的46次方为分界线，素数被分为两部分：大于10^46的素数肯定没有乘积性质，所以在证明Sheldon猜想时可以忽略这部分；而小于10^46的素数可以是正数，它们是我们应该关心的。

因此，论文作者的检索范围受到限制。这件事比张一堂对孪生素数猜想的论证过程要简单得多，因为张一堂要面对无数个素数，不断缩小范围，最后将其推向极限。 Pomerance 和Spice 只需要处理小于10^46 的小素数。

卡尔·波默兰斯解释了谢尔顿猜想的证明。 （图片来源：Eli Burakian）

这两位教授撰写的论文共有11页。在他们的论文中，他们部分依赖于数学技能，部分依赖于计算机编程。最后，他们完成了搜索并证明73确实是唯一的谢尔顿素数。

当《生活大爆炸》的科学顾问、加州大学洛杉矶分校物理学教授David Salzberg听说“谢尔顿猜想”被证明时，联系了作者，询问他是否可以在接下来的：010中做到这一点- 30,000 人使用这个结论。或许，在最终季的最后一集中，我们可以听到谢尔顿自己说：“谢尔顿的猜想被证明了”！

-结束-

本文选自公众号“环球科学”（huanqiukexue）。作者：张华。经智健许可发布。

原论文：

[1]谢尔顿猜想的证明

[2]谢尔顿猜想

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