《测绘学报》
搭建与学者的桥梁，缩短与权威的距离
地球半径差的常用符号表达
宗敬文1、李厚璞1、卞少峰1、唐庆辉2
1. 海军工程大学航海工程系， 湖北武汉430033; 2. 32022单元， 湖北武汉430033
收稿日期：2018-04-10；修改日期：2018-09-21
基金项目：国家自然科学基金（41571441；41771487；41631072）
第一作者简介：宗敬文(1995-)，男，博士研究生，研究方向为大地测量学。邮箱：zjw19950613@163.com
通讯作者： 李厚朴， E-mail: lihoupu1985@126.com
摘要：对测量和地球科学计算中常用的五种地球半径进行了全面、系统的比较。借助计算机代数系统，推导出常用的地球半径与其对应的最大值之间的差的最大点以及它们之间的相等点。纬度的符号表达以偏心率e的幂级数形式表示。最后以CGCS2000椭球体为例，将常用地球半径的差异阐明为数值。结果表明，常用地球半径之差在纬度90处最大，在纬度0处最小。平均曲率半径与等距球体的半径之差最大。平均曲率半径与球体平均半径之差最大。最低限度。这些成果可为地球科学、空间科学、导航定位等相关研究提供理论依据。
关键词：地球半径，最大差值，极大点，符号表达CGCS2000
地球半径差异的符号表达
宗敬文1、李厚璞1、卞少峰1、唐庆辉2
1. 海军工程大学航海系， 湖北武汉430033; 2. 32022部队， 武汉430033
基金资助： 国家自然科学基金（Nos. 41571441;41771487;41631072）
第一作者：宗景文(1995—),男，博士生，研究方向为大地测量。E-mail:zjw19950613@163.com
通讯作者： 李厚普， E-mail: lihoupu1985@126.com
Abstract: 对大地测量学和制图学中常用的五种地球半径进行了系统、全面的比较，得出地球半径最常见点之间的差异、其对应的最大值以及它们之间相等点的纬度计算机代数系统的帮助。符号表达式表示为第一偏心率的幂级数。以CGCS2000椭球体为例，将常用地球半径之间的差异阐明为数值。结果表明，常用的地球半径之间的差异在90 度时最大，在0 度时最小。平均曲率半径与等距球半径的差值最大，平均曲率半径与平均球半径的差值最小。这些成果可为地球科学、空间科学、导航定位等相关研究提供理论依据。
关键词： 地球半径差极值极值点符号表达式CGCS2000
地球半径是测量和地球科学计算中最常用的基本参数。根据地球科学、空间科学、导航定位的要求和某些需要，常用的有平均曲率半径、平均球半径、等距球半径、等面积球半径。以及等体积球体的五个地球半径[1-4]。随着空间技术和计算机技术在大地测量学和制图学中的应用和发展，研究常用地球半径之间的关系以及它们之间的差异具有更重要的实用价值。国内外许多学者对此问题进行了研究并取得了显着的成果。文献[5-6]提出用不同的球体半径来表示球体的特征。将不同的球体半径代入克拉索夫斯基椭圆参数得到数值解，然后代入球体面积公式得到不同半径下的大圆路径长度和角变形。发现利用等角球半径计算大圆航线可以满足导航精度要求。文献[7]将子午圈的曲率半径和卯酉圈的曲率半径展开为大地纬度的幂级数，并借助辅助函数V导出了不同形式的平均曲率半径展开式。文献[8]利用等距球半径和等面积球半径推导了求解地图投影变换常用的纬度函数，并提出了变系数线性插值方法来解决测绘中所需的计算精度问题。文献[9]利用球体半径和计算机代数系统来研究大地测量和地理信息系统中的问题。
从目前来看，前人在这方面已经做了很多卓有成效的工作，但主要集中在一种或几种地球半径的计算和应用上，多为等角纬度、等面积纬度和等距纬度。计算分析[10-15]，很少有文献从符号和数值上系统地比较这些常用地球半径之间的差异。计算机代数系统可以将基本数学公式展开为幂级数形式，并且推导的公式比手动计算更准确[16-19]。为了丰富这一问题的研究，使人们对这些常用地球半径形成更直观的认识，本文重点讨论常用地球半径之间的区别，推导了常用地球半径区别的符号表达，最后以椭球[20]为例，CGCS2000对常用地球半径之间的差异进行了数值分析比较，发现平均球半径和等体积球半径可以代替等面积球等积地图投影中的半径。
1 地球半径的常用定义
平均曲率半径Ra经常被用来制作地球表面局部区域的地图[21]。也可以将其作为测绘区域的中心点，椭球体的偏心率为e，则其相对于地球纬度B的表达式
(1)
式中，N为茅油圆的曲率半径； M为子午圈的曲率半径，展开为偏心率为e的幂级数形式
(2)
式(2)中的系数计算如下
(3)
对于整个地球来说，平均球半径（取地球椭球三个半轴长度的算术平均值，用来简单确定球的半径）[22]、等积球半径（保持球体表面积等于对应的地球椭球体全面积）确定的球面半径主要用于等积投影）[23]，等距球面半径（通过使球体子午线总长度等于地球椭球体子午线总长度，主要用于等距投影）[24]以及等体积球半径的表达式（通过使体积确定的球半径）地球球体等于地球椭球体的体积）与地球纬度B无关，仅取决于地球椭球体模型的参数a和e。其表达式为：
(4)
式中，Re表示平均球半径； RF表示等积球半径； RS表示等距球体半径； RV表示等体积半径。
2 地球半径差的常用符号表达
由于常用的五种地球半径有一定的差异，因此在实际应用中将使用它们的差异表达式。为了了解常用地球半径之间的差异，特别是差异极大点及其对应的差异最大值，可以根据它们之间的差异表达式推导出差异符号表达式。
2.1 平均曲率半径与四种常用球体半径之差的符号表达式
通过分析平均曲率半径和四种常用球体半径的表达式，可以推导出它们差异的符号表达式。以平均球半径为例
(5)
将式(5)展开为幂级数的形式
(6)
式(6)中系数计算公式为
(7)
从上式可以看出，确定地球椭球参考模型后即可确定常数e。此时，两者的差异仅与大地纬度B有关。由于大地纬度B的取值范围为B)的取值范围为(-1, 1)，即取B时，两者之差有一个最大值。为了便于比较不同地球半径的平均曲率半径和差值，将最大差值进一步展开为偏心率e形式的幂级数
(8)
当B取0时，存在最小值，其最小值进一步展开为偏心率e的幂级数形式
(9)
同样，平均曲率半径与等面积地球半径、等距离地球半径、等体积地球半径进行比较。分析结果与平均曲率半径与平均球半径之差的分析结果相同：取B时，两者之差有一个最大值，最大符号表达式结果列于表格1;当B为0时，两者之差有最小值，最小差值符号表达式结果列于表2。
表1 平均曲率半径与四种常用球半径不同最大值的符号表达式
R/a最大差值点最大差值符号表达式(Ra-Re)/a(Ra-RF)/a(Ra-RV)/a(Ra-RS)/a 表2 平均曲率半径及常用的四种图2 平均曲率半径与四种常见球半径不同最小值的符号表达式
R/a差最小值点差最小值符号表达式(Ra-Re)/a0(Ra-RF)/a0(Ra-RV)/a0(Ra-RS)/a0 当平均曲率半径等于平均值时球面半径时，有以下公式
(10)
对式(10)进行整理，省略求导过程，可得
(11)
式(11)中，B0e为平均曲率半径等于平均球半径时的大地纬度，展开为偏心率e的幂级数形式
(12)
因此，采用与平均球半径类似的方法，推导了大地纬度B与平均曲率半径相等时的符号表达式。最终结果如表3所示。
表3 平均曲率半径与四种常用球半径的等大地纬度符号表达式
R 大地纬度BRa-ReRa-RFRa-RVRa-RS2.2 四种常用球面半径之差的符号表达
为了系统地比较常用球体半径的差异，除了分析四种常用球体的平均曲率半径与半径的差异外，还需要分析其他四种球体半径的差异常用球体。下面分析平均球半径、等面积球半径、等距离球半径和等体积球半径的区别。对于整个地球而言，它们的表达式与大地纬度B无关，而仅取决于地球椭球模型参数a和e。它们类似于推导平均曲率半径与四种常用球面半径之间差异的符号表达式。通过求差，然后以级数展开的形式进行分析（以平均球半径与等体积球半径差值的符号表达为例），其差值可表示为
(13)
将式(13)展开为幂级数的形式
(14)
与平均曲率半径和其他四种常用球面半径的区别相比，它们之间的区别相对简单。类似地，可以推导出平均球半径和等面积球半径、平均球半径和等面积球半径、等距离球半径和等面积球半径、等距离球半径和等体积球半径、等积球半径等。体积球半径之差的符号表达式，最终结果如表4所示。
表4 四种公共球半径不同极值的符号表达式
R/差值符号表达式(Re-RV)/a(RF-RV)/a(Re-RF)/a(RF-RS)/a(Re-RS)/a(RS-RV)/a 可以由表4可见，四种常用球体的半径之差仅与e有关。它们之间的差异随着e的增加而增大，等距球的半径与等体积球的半径之间的差异最小。平均球半径与等距球半径之间的最大差值。
3 实例分析
为了让人们直观地了解各种地球半径之间的数值差异，下面以CGCS 2000参考椭球体（a=6 378 137，e=0.081 819 191 042 8）为例，比较常用的五种地球半径半径。对它们之间的差异进行了数值比较和分析。
3.1 平均曲率半径与四种常用球体半径的差异比较
为了了解平均曲率半径与平均球半径、等面积球半径、等距球半径和等体积球半径之间的差异，可以绘制大地纬度B [0, 90] ，平均曲率半径与各种常用球体的半径之差曲线如图1所示；表5给出了大地纬度B[0，90]每15对应的平均曲率半径与各常用球体半径的差值。
图1 平均曲率半径与四种常用球半径的差异图
表5 平均曲率半径与四种常见球体半径的差异m
mB0153045607590Ra-Re-14 256.5-11 404.6-3 599.97 092.317 820.525 697.028 584.9Ra-RF-14 254.9-11 403.0-3 598.47 093.917 822 .125 698.628 586.4Ra- RS- 10 696.8-7 844.9-4 036.810 651.921 380.129 256.632 144.5Ra-RV-14 248.5-11 396.6-3 592.07 100.217 828.525 705.028 592.8 如图1、表5 平均曲率半径与其他的差异四种常用的球体半径值随着大地纬度B[0, 90]的增大而增大。选取的7个点的平均曲率半径与平均球半径、等面积球半径和等体积球半径的差异不大。如图1 所示，三条曲线几乎重叠成一条曲线。为了便于观察3条曲线的差异，在大地纬度B[0，1]范围内绘制3条曲线，如图2所示。
图2 平均曲率半径与四种常用球半径的差异图
从图2可以看出，在1变化范围内，平均曲率半径与平均球半径、等面积球半径与等体积球半径之差的变化图， 3条曲线均在10 m以内，可以看出平均球半径、等面积球半径和等体积球半径之间的差异较小。因此，在实际应用中，可以根据需要选择合适的半径，以避免公式计算和推导过程的复杂性。
根据推导出的平均曲率半径与其他四种常用球面半径之差的符号表达式，可以计算出在大地纬度B[0, 90]范围内存在一点使得两者半径相等，即差值为0。
从图1和表6可以看出，差值曲线与坐标轴的交点为平均曲率半径等于平均球半径、等面积球半径、等距球半径和等体积球的点半径。具体数值总结于表6中。其中，等距球半径与平均曲率半径相等的点的大地纬度为30345.04，与其他三个相等点的大地纬度相差约5，这与差异曲线如图1所示。
表6 当平均曲率半径与四种常用球体半径之差为0时，差值点为零。
大地纬度Ra=ReRa=RFRa=RSRa=RVB351931.7735197.7930345.04351935.11 由于平均曲率半径随大地纬度B逐点变化，从微观上讲，常用的四种球面半径是宏观意义上地球球体的平均值。它们的定义不同，差异逐点变化，使用场合也不同。因此，宏观上不能替代微观上的平均曲率半径，但在一定程度上，平均曲率半径与常用的四种球面半径在某一特殊点上是相等的，此时它们是可以相互替代的。
3.2 四种常用球半径的差异比较
为了全面分析常用地球半径之间的差异，现以CGCS2000参考椭球体（a=6 378 137，e=0.081 819 191 0）为例，对半径之间的差异进行数值比较分析四种常用球体。最后，结果如表7所示。
表7 四种常见球体半径之差值
mRe-RVRe-RSRe-RFRF-RSRF-RVRS-RVR7.983 559.631.593 558.046.39-3 551.64 从表7 可以看出，平均球半径与等面积球半径之差的绝对值最小，则平均球半径与等距球半径之差的绝对值最大。由于四种球面半径是不同意义上定义的球面半径的平均值，因此它们之间存在很大差异。等距球半径与其他三个地球半径相差较大，因此在进行等距投影时不宜用其他地球半径进行替换；另一方面，平均球半径、等体积球半径和等面积球半径之间，在CGCS2000参考系中以下数值的差异精度在8 m以内。将平均球半径、等面积球半径、等体积球半径分别代入等面积投影长度比公式，可知椭球面在球面上的等面积投影的长度变形最大在赤道处，其值分别为0.111 7%、0.111 8%和0.111 9%。可见，这三个地球半径对等面积投影影响不大。由于等积球半径公式比较复杂，复杂公式的计算和推导存在一定的困难。因此，在实际应用中，可以用平均球半径和等体积球半径来代替等面积球半径。
4。结论
本文研究了五种常用地球半径之间的差异，推导了常用地球半径差异的符号表达式，并以CGCS2000椭球为例进行了数值分析和比较，得出以下结论。
(1)平均曲率半径与常用的四种球体的半径之差随着地球纬度的增加而增大。差异的绝对值随着地球纬度的增加先减小后增大。在某一点上，差值为0。其中，取B时，平均曲率半径与等距球半径之差最大。最大差的符号表达式的第一项是当B取0时。平均曲率半径与球体的平均半径之间存在最小差。之间的差值最小，最小符号表达式的第一项为
(2)平均曲率半径是微观平均值，随大地纬度B逐点变化；常用的四种球面半径是宏观意义上地球球面上的平均值，与大地纬度B无关。除特殊点处等效外，平均曲率半径与常用的四种球面半径半径在其他点上不能互换使用。
(3)四种常用的球面半径中，平均球面半径与等面积半径之差的绝对值最小。具有最小绝对值的符号表达式的第一项是
(4) 将常用地球半径之间的差异用符号形式表示出来，并统一展开为偏心率e的幂级数形式。该表达式易于比较和分析，在一定程度上丰富了测量和制图学的数学分析理论。
【引文格式】宗敬文，李厚璞，卞少峰，等。地球半径差的常用符号表达。测绘学报， 2019, 48(2): 238-244. DOI: 10.11947/j.AGCS.2019.20180145